2019年云南单招文科数学模拟试题（一）「含答案」

（Ⅰ）请根据表中4月2日至4月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程=+；若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，请用4月1日和4月5日数据检验你所得的线性回归方程是否可靠？

（Ⅱ）从4月1日至4月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率．

（参考公式：回归直线的方程是=+，其中=，=﹣b）

19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等边三角形，BC=CC1=4，D是A1C1中点．

（Ⅰ）求证：A1B∥平面B1CD；

（Ⅱ）当三棱锥C﹣B1C1D体积最大时，求点B到平面B1CD的距离．

20．在平面直角坐标系xoy中，动点M到点F（1，0）的距离与它到直线x=2的距离之比为．

（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；

（Ⅱ）设直线y=kx+m（m≠0）与曲线E交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点（且C，D在A，B之间或同时在A，B之外）．问：是否存在定值k，对于满足条件的任意实数m，都有△OAC的面积与△OBD的面积相等，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．

（1）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0平行的切线，求实数a的取值范围；

（2）已知a＞1设g（x）=f（x）+，若g（x）有极大值点x1，求证：x1lnx1﹣ax12+1＞0．

选修4-4：坐标系与参数方程

22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

选修4-5：不等式选讲

23．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|．

（Ⅰ）求不等式f（x）≥﹣2的解集M；

（Ⅱ）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．

2019年云南单招文科数学模拟试题（一）参考答案　

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合A={x|y=lg（x﹣1）}，集合B={y|y=﹣x2+2}，则A∩B等于（　　）

A．（1，2）B．（1，2]C．[1，2）D．[1，2]

「考点」1E：交集及其运算．

「分析」求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B的交集即可．

「解答」解：由A中y=lg（x﹣1），得到x﹣1＞0，

解得：x＞1，即A=（1，+∞），

由B中y=﹣x2+2≤2，得到B=（﹣∞，2]，

则A∩B=（1，2]，

故选：B．

2．复数z=（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

「考点」A7：复数代数形式的混合运算．

「分析」化简复数的分子，然后分母实数化，化复数为a+bi（a、b∈R）可得对应的点位于的象限．

「解答」解：复数=

故选B．

3．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足，则的值为（　　）

A．2B．C．D．﹣2

「考点」9R：平面向量数量积的运算．

「分析」利用向量的坐标运算和数乘运算、数量积运算即可得出．

「解答」解：如图所示，

A（，0），B（0，），C（﹣，0），

∴=（，），=（3，0），

∴=（，）+（3，0）=（2，），

∴=+=（，），

∴=﹣=（﹣1，），=﹣=（﹣，），

∴=﹣1×（﹣）+×=2，

故选：A．

4．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（　　）

A．模型1的相关指数R2为0.98B．模型2的相关指数R2为0.80

C．模型3的相关指数R2为0.50D．模型4的相关指数R2为0.25

「考点」BS：相关系数．

「分析」两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.98是相关指数最大的值，得到结果．

「解答」解：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，

这个模型的拟合效果越好，

在所给的四个选项中0.98是相关指数最大的值，

∴拟合效果最好的模型是模型1．

故选A．

5．已知﹣1，a1，a2，﹣9成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1成等比数列，则b2（a2﹣a1）的值为（　　）

A．8B．﹣8C．±8D．

「考点」88：等比数列的通项公式；84：等差数列的通项公式．

「分析」设等差数列的公差为d，由等差数列的前n项和公式能求出公差d的值；设等比数列的公比为q，由等比数列的前n项和公式能求出公比q的值．由此能够求出b2（a2﹣a1）的值．

「解答」解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则有

，解得d=﹣，q=±，

∴b2（a2﹣a1）=﹣9××（﹣）=8．

故选：A．

6．函数f（x）=eln|x|+的大致图象为（　　）

A．B．C．D．

「考点」3O：函数的图象．

「分析」根据已知中函数的解析式，可得函数f（x）为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，可排除A，D，结合函数值的变化趋势可排除B，得到答案．

「解答」解：∵f（x）=eln|x|+

∴f（﹣x）=eln|x|﹣

f（﹣x）与f（x）即不恒等，也不恒反，

故函数f（x）为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，

可排除A，D，

当x→0+时，y→+∞，故排除B

故选：C．

7．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（　　）

A．2B．3C．4D．5

「考点」EF：程序框图．

「分析」由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

「解答」解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，

当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，

当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，

当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，

故输出的n值为4，

故选C．

8．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的自然数n，都有=，则+=（　　）

A．B．C．D．

「考点」85：等差数列的前n项和．

「分析」利用等差数列的通项公式性质可得：=，可得+=+，再进行转化利用求和公式及其性质即可得出．

「解答」解：∵等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq；

等差数列的前n项和为：Sn=．

∴==

∴+

=+=+

===

==

=

故选：A．

9．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如

图所示，那么该几何体的体积是（　　）

A．B．4C．D．3

「考点」L!：由三视图求面积、体积．

「分析」由三视图知几何体是正方体的一半，已知正方体的棱长为2，由此可得几何体的体积．

「解答」解：由三视图知：余下的几何体如图示：

∵E、F都是侧棱的中点，

∴上、下两部分的体积相等，

∴几何体的体积V=×23=4．

故选B．

10．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　）

A．B．C．2πD．4π

「考点」LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．

「分析」画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．

「解答」解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．

V=2×S•h=2×πR2•h

=2×π×（）2×=．

故选：B．

11．设F1，F2分别为椭圆C1：与双曲线C2：的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，若椭圆的离心率，则双曲线C2的离心率e2的值为（　　）

A．B．C．D．

「考点」K4：椭圆的简单性质．

「分析」如图所示，设|F1M|=m，|F2M|=n，m+n=2a1，m﹣n=2a2，m2+n2=4c2，化简即可得出．

「解答」解：如图所示，

设|F1M|=m，|F2M|=n，

则m+n=2a1，m﹣n=2a2，m2+n2=4c2，

可得：=2c2，

可得=2，，

解得e2=．

故选：B．

12．已知函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式的解集为（　　）

A．（e，+∞）B．（0，e）C．D．

「考点」7E：其他不等式的解法．

「分析」求出函数的导数，求出单调增区间，再判断函数的奇偶性，则不等式，转化为f（lnx）＜f（1）即为f|lnx|）＜f（1），则|lnx|＜1，运用对数函数的单调性，即可得到解集．

「解答」解：函数f（x）=xsinx+cosx+x2的导数为：

f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx+2x=x（2+cosx），

则x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增，

且f（﹣x）=xsinx+cos（﹣x）+（﹣x）2=f（x），

则为偶函数，即有f（x）=f（|x|），

则不等式，即为f（lnx）＜f（1）

即为f|lnx|）＜f（1），

则|lnx|＜1，即﹣1＜lnx＜1，解得，＜x＜e．

故选：D．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为　8　y的取值范围是　（1，+∞）　．

「考点」7F：基本不等式．

「分析」正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，利用基本不等式的性质可得：x+2y=2xy≤，解出即可得出最小值．由正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，可得x=＞0，解出即可得出y的取值范围．

「解答」解：∵正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，

∴x+2y=2xy≤，化为（x+2y）（x+2y﹣8）≥0，解得x+2y≥8，当且仅当y=2，x=4时取等号．

则x+2y的最小值为8．

由正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，∴x=＞0，∴y（y﹣1）＞0，解得y＞1．

∴y的取值范围是（1，+∞）．

故答案分别为：8；（1，+∞）．

14．已知函数f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极小值10，则的值为　﹣　．

「考点」6D：利用导数研究函数的极值．

「分析」由于f′（x）=3x2+2ax+b，依题意知，f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b﹣a2﹣7a=10，于是有b=﹣3﹣2a，代入f（1）=10即可求得a，b，从而可得答案．

「解答」解：∵f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a，

∴f′（x）=3x2+2ax+b，

又f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极小值10，

∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b﹣a2﹣7a=10，

∴a2+8a+12=0，

∴a=﹣2，b=1或a=﹣6，b=9．

当a=﹣2，b=1时，f′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），

当＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，

∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意符合；

当a=﹣6，b=9时，f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）

当x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0，

∴f（x）在x=1处取得极大值，与题意不符；

∴=﹣，

故答案为：﹣．

15．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是　甲　．

「考点」F4：进行简单的合情推理．

「分析」此题可以采用假设法进行讨论推理，即可得出结论．

「解答」解：假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一人说真话矛盾，

假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，成立，

故答案为：甲．

16．已知圆O：x2+y2=9，点A（2，0），点P为动点，以线段AP为直径的圆内切于圆O，则动点P的轨迹方程是　+=1　．

「考点」J3：轨迹方程．

「分析」设AP的中点为M，切点为N，连OM，MN，通过|OM|+|MN|=|ON|=3，推出|OM|+|MN|=3．说明点P的轨迹是以A′，A为焦点，长轴长为6的椭圆．然后求解动点P的轨迹方程．

「解答」解：设AP的中点为M，切点为N，连OM，MN，则|OM|+|MN|=|ON|=3，

取A关于y轴的对称点A′，连A′P，

故|A′P|+|AP|=2（|OM|+|MN|）=6．

所以点P的轨迹是以A′，A为焦点，长轴长为6的椭圆．

其中，a=3，c=2，b=，则动点P的轨迹方程是+=1．

故答案为：+=1．

三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.

17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinA=（b﹣c）sinB+（c﹣b）sinC．

（1）求角A的大小；

（2）若a=，cosB=，D为AC的中点，求BD的长．

「考点」HP：正弦定理；HR：余弦定理．

「分析」（I）由已知，利用正弦定理可得a2=（b﹣c）b+（c﹣b）c，化简可得2bc=（b2+c2﹣a2），再利用余弦定理即可得出cosA，结合A的范围即可得解A的值．

（Ⅱ）△ABC中，先由正弦定理求得AC的值，再由余弦定理求得AB的值，△ABD中，由余弦定理求得BD的值．

「解答」解：（I）∵，

∴由正弦定理可得：a2=（b﹣c）b+（c﹣b）c，即2bc=（b2+c2﹣a2），

∴由余弦定理可得：cosA==，

∵A∈（0，π），

∴A=．

（Ⅱ）∵由cosB=，可得sinB=，

再由正弦定理可得，即，

∴得b=AC=2．

∵△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠A，

即10=AB2+4﹣2AB•2•，

求得AB=32．

△ABD中，由余弦定理可得BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠A=18+1﹣6•=13，

∴BD=．

18．某研究性学习小组对4月份昼夜温差大小与花卉种子发芽多少之间的关系研究，记录了4月1日至4月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数，如下表：